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Satz von Vieta: In einer Polynomfunktion f (x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn mit den Nullstellen x1, x2, …, xn gilt:
a0 = (-1)nf(x1)(x2)(x3) … (xn)
a1 = n(-1)n-1f(x1)(x2) … (xn) + (-1)nf(x2)(x3) … (xn) + … + (-1)n+1f(xn)(x1)(x2) … (xn-1)
Allgemein gilt:
ak = k(-1)k-n-1[f(x1)(x2) … (xn) + f(x2)(x3) … (xn) + … + f(xn)(x1)(x2) … (xn-1)]
Übungen mit lösungen zur Satz Von Vieta
Übungen mit lösungen zur Satz Von Vieta
1.Finden Sie alle Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichung:
x2−4x+5=0
Lösung: Die Quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen:
x1=2 und x2=1/2
2.Finden Sie alle Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichung:
x2+3x+2=0
Lösung: Die Quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen:
x1=-1 und x2=-2
3.Finden Sie alle Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichung:
x2−5x+6=0
Lösung: Die Quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen:
x1=3 und x2=2
4.Finden Sie alle Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichung:
x2−x−6=0
Lösung: Die Quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen:
x1=3 und x2=-2
5.Finden Sie alle Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichung:
x2+x+1=0
Lösung: Die Quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen:
x1=-1/2 und x2=-1
Aufgaben zur Satz Von Vieta
Aufgaben zur Satz Von Vieta In diesem Artikel werden wir uns mit dem Satz von Vieta befassen, einem wichtigen Theorem der Mathematik, das vielen Bereichen zugrunde liegt. Wir werden sehen, wie es funktioniert und welche Anwendungen es hat. Der Satz von Vieta ist ein Theorem der Mathematik, das sich mit Polynomen befasst, also Funktionen wie x² + 5x + 6. Wenn wir ein Polynom mit dem Grade n haben, dann können wir es in n Linearfaktoren zerlegen, also Faktoren wie (x-2)(x-3), wobei die Klammern die Faktoren umfassen. Wenn wir nun die Koeffizienten des Polynoms betrachten, also die Zahlen vor den jeweiligen Faktoren, dann können wir feststellen, dass der erste Koeffizient gleich der Summe der Nullstellen ist, also der Summe der x-Werte, für die das Polynom gleich Null ist. Der zweite Koeffizient ist gleich der Negation der Produkt der Nullstellen, also der x-Werte, für die das Polynom gleich Null ist. Und so weiter: Der dritte Koeffizient ist gleich dem Produkt der Nullstellen, der vierte Koeffizient ist gleich der Negation der Summe der Nullstellen und so weiter. Dieser Satz ist sehr nützlich, um Nullstellen von Polynomen zu finden. Wenn wir also ein Polynom mit dem Grade n haben und die ersten n-1 Koeffizienten kennen, dann können wir die n-te Koeffizienten berechnen und damit die Nullstellen des Polynoms. Der Satz von Vieta ist auch nützlich, um Gleichungen zu lösen. Wenn wir zum Beispiel die Gleichung x² + 5x + 6 = 0 lösen wollen, können wir den Satz von Vieta verwenden. Wir sehen, dass der erste Koeffizient gleich 1 ist und der zweite Koeffizient gleich -5. Also ist die Summe der Nullstellen gleich 1 und das Produkt der Nullstellen gleich -5. Wir können also sagen, dass die Nullstellen der Gleichung x² + 5x + 6 gleich -1 und 6 sind. Wenn wir diese Nullstellen in die Gleichung einsetzen, können wir sehen, dass sie tatsächlich stimmt. Der Satz von Vieta ist also ein sehr nützliches Theorem, das in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird.
