Inverse Matrix übungen mit Lösungen PDF

Die inverse Matrix ist eine Matrix, die eine andere Matrix (die so genannte „ursprüngliche“ Matrix) multipliziert, um die Identity Matrix zu erhalten. Die inverse Matrix wird oft verwendet, um bestimmte Probleme in der linearen Algebra zu lösen.

Die inverse Matrix wird auch als “ multiplicative inverse“ oder „reciprocal matrix“ bezeichnet. Wenn A die ursprüngliche Matrix ist, dann wird die inverse Matrix als A^-1 bezeichnet. Die inverse Matrix ist nützlich, weil sie uns erlaubt, bestimmte Gleichungen umzustellen, um sie leichter zu lösen.

Beispielsweise können wir die folgende Gleichung umstellen, um x zu isolieren:

Ax = b

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit der inverse Matrix von A:

A^-1Ax = A^-1b

Wir wissen, dass A^-1A = I ist, wo I die Identity Matrix ist. Die Identity Matrix ist eine Matrix, die alle Einträge auf der Hauptdiagonale hat (die von oben links nach unten rechts verläuft) und alle anderen Einträge sind Null. Wenn wir also A^-1A multiplizieren, dann erhalten wir die Identity Matrix:

Ix = A^-1b

Und da die Identity Matrix nur Einträge auf der Hauptdiagonale hat, können wir den ersten Term in der Gleichung als x schreiben und den zweiten Term als Null:

x = A^-1b

Diese Gleichung ist nun leichter zu lösen, weil wir nur noch eine Variable haben. Wir können A^-1b nun einfach berechnen, um x zu finden.

Die inverse Matrix ist also nützlich, weil sie uns erlaubt, bestimmte Gleichungen umzustellen. Allerdings ist sie nicht immer einfach zu berechnen. Die inverse Matrix einer n x n Matrix (einer Matrix mit n Zeilen und n Spalten) kann nur berechnet werden, wenn die Matrix nicht singulär ist. Eine Matrix ist singulär, wenn sie keine inverse Matrix hat. Eine Matrix kann singulär sein, wenn sie nicht quadratisch ist (d.h. sie hat nicht die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten) oder wenn sie eine Determinante von Null hat.

Wenn wir also die inverse Matrix einer n x n Matrix berechnen wollen, müssen wir zuerst überprüfen, ob die Matrix quadratisch ist und ob sie eine Determinante von Null hat. Wenn eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, dann hat die Matrix keine inverse Matrix.

Übungen mit lösungen zur Inverse Matrix

Übungen mit Lösungen zur Inverse Matrix

In diesem Artikel findest du verschiedene Übungen zur Inverse Matrix mit Lösungen. Durch das Lösen dieser Übungen kannst du dein Wissen über die Inverse Matrix vertiefen und festigen.

Übung 1:

Berechne die inverse Matrix der folgenden Matrix:

$$begin{pmatrix}1 & 2\3 & 4end{pmatrix}$$

Lösung: Die inverse Matrix ist die Matrix:

$$begin{pmatrix}-2 & 1\3 & -1end{pmatrix}$$

Übung 2:

Berechne die inverse Matrix der folgenden Matrix:

$$begin{pmatrix}1 & 3 & 5\2 & 5 & 8\4 & 7 & 12end{pmatrix}$$

Lösung: Die inverse Matrix ist die Matrix:

$$begin{pmatrix}-1 & 3 & -5\2 & -5 & 8\-4 & 7 & -12end{pmatrix}$$

Übung 3:

Berechne die inverse Matrix der folgenden Matrix: