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Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine polynomische Funktion zweiter Ordnung, dh sie hat die Form
f(x) = ax2 + bx + c
wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a nicht 0 ist. Die Funktion f ist also durch die drei Punkte (0, c), (–b/2a, 0) und (–b/a, f(–b/a)) definiert.
Die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktion mit der x-Achse lassen sich leicht berechnen. Setzt man x = 0 in die Funktion ein, so erhält man
f(0) = c
Setzt man f(x) = 0 in die Funktion ein, so erhält man nach Umformung
ax2 + bx + c = 0
Dies ist ein Quadratische Gleichung zweiter Ordnung, die nach dem Hauptsatz der Algebra mit den Quadratischen Formeln gelöst werden kann. Die Lösungen sind
x1,2 = –b/2a mit x1 ≠ x2
Diese Lösungen entsprechen den x-Werten der Punkte, an denen die Funktion die x-Achse schneidet.
Die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ist leicht zu berechnen, da an dieser Stelle x = 0 ist. Setzt man x = 0 in die Funktion ein, so erhält man
f(0) = c
Dies ist die y-Koordinate des Schnittpunktes der Funktion mit der y-Achse.
Die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktion mit der y-Achse lassen sich leicht berechnen. Setzt man f(x) = 0 in die Funktion ein, so erhält man nach Umformung
ax2 + bx + c = 0
Dies ist ein Quadratische Gleichung zweiter Ordnung, die nach dem Hauptsatz der Algebra mit den Quadratischen Formeln gelöst werden kann. Die Lösungen sind
x1,2 = –b/2a mit x1 ≠ x2
Diese Lösungen entsprechen den x-Werten der Punkte, an denen die Funktion die y-Achse schneidet.
Übungen mit lösungen zur Quadratische Funktionen
Lerne, wie du Quadratische Funktionen lösen kannst, mit diesen einfachen Übungen.
Eine Quadratische Funktion ist eine Funktion, die in der Form y = ax2 + bx + c angegeben wird, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a nicht 0 ist.
Um eine Quadratische Funktion zu lösen, benötigst du die Quadratische Formel:
x = -b ± √(b2 – 4ac) / 2a
Führe die folgenden Schritte aus, um eine Quadratische Funktion zu lösen:
- Finde a, b und c.
- Berechne b2 – 4ac.
- Finde die Wurzel von b2 – 4ac.
- Subtrahiere b von beiden Seiten der Quadratischen Formel und füge die Wurzel von b2 – 4ac hinzu oder ziehe sie ab.
- Teile die gesamte Gleichung durch 2a.
Beispiel: Löse die Quadratische Funktion y = 2x2 – 5x + 3
a = 2, b = -5 und c = 3
b2 – 4ac = (-5)2 – 4(2)(3) = 25 – 24 = 1
√(1) = 1
-b ± √(b2 – 4ac) / 2a
-b ± 1 / 2a
-(-5) ± 1 / 2(2)
5 ± 1 / 4
(5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1,5
(5 – 1) / 4 = 4 / 4 = 1
Die Lösungen sind 1 und 1,5
Aufgaben zur Quadratische Funktionen
Aufgaben zur Quadratischen Funktionen
1. Finde die Nullstellen der Funktion f(x) = x2 – 4x + 4.
2. Finde die y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 3x2 – 12x + 9.
3. Löse die Gleichung f(x) = 0, wenn f(x) = x2 – 5x + 6.
4. Bestimme die Funktion f(x), wenn f(1) = 4, f(2) = 11 und f(3) = 20.
5. Berechne die Steigung der Tangente an die Kurve y = x2 – 3x + 2 an der Stelle x = 1.
6. Finde die x-Achsenabschnitt der Parabel y = -2x2 – 5x + 3.
7. Berechne die x-Werte der Schnittpunkte der Geraden y = -x + 4 mit der Parabel y = x2 – 2x.
8. Finde die Funktion f(x), wenn f ′(x) = 6x – 5 und f ′′(x) = 6.
9. Löse die Gleichung f(x) = g(x), wenn f(x) = x2 – 4x + 4 und g(x) = 2x2 – 8x + 7.
10. Finde die Steigung der Tangente an die Kurve f(x) = x3 – 3x2 + 2x an der Stelle x = 1.
