Die Vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip, mit dem sich Aussagen über ganze Zahlenreihen beweisen lassen. Die Methode funktioniert folgendermaßen: Für eine ganze Zahlenreihe (z.B. die natürlichen Zahlen von 1 bis n) wird eine Aussage (z.B. „Alle Zahlen der Reihe sind gerade“) formuliert. Diese Aussage wird dann für den Anfang der Reihe (kleinste Zahl, nämlich 1) und für die nächste Zahl der Reihe (2) überprüft. Wenn die Aussage für diese beiden Zahlen stimmt, kann man davon ausgehen, dass sie für alle weiteren Zahlen der Reihe stimmt. Dies wird dann für die nächste Zahl der Reihe (3) überprüft und so weiter, bis man bei der letzten Zahl der Reihe (n) angekommen ist. Wenn die Aussage für alle Zahlen der Reihe stimmt, sagt man, dass sie durch Induktion bewiesen ist.
Die Vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip, mit dem sich Aussagen über ganze Zahlenreihen beweisen lassen. Die Methode funktioniert folgendermaßen: Für eine ganze Zahlenreihe (z.B. die natürlichen Zahlen von 1 bis n) wird eine Aussage (z.B. „Alle Zahlen der Reihe sind gerade“) formuliert. Diese Aussage wird dann für den Anfang der Reihe (kleinste Zahl, nämlich 1) und für die nächste Zahl der Reihe (2) überprüft. Wenn die Aussage für diese beiden Zahlen stimmt, kann man davon ausgehen, dass sie für alle weiteren Zahlen der Reihe stimmt. Dies wird dann für die nächste Zahl der Reihe (3) überprüft und so weiter, bis man bei der letzten Zahl der Reihe (n) angekommen ist. Wenn die Aussage für alle Zahlen der Reihe stimmt, sagt man, dass sie durch Induktion bewiesen ist.
Übungen mit lösungen zur Vollständige Induktion
Übungen mit lösungen zur Vollständige Induktion
1. Sei P(n) eine Aussage über n ∈ N. Wir bezeichnen mit
P(0)
die Aussage P(n), wenn n = 0. Wenn P(n) für alle n ∈ N gilt, nennen wir P(n) eine
vollständig induktive Aussage.
a) Show that:
P(n) ⇒ P(n + 1)
b) Show that:
P(0) ∧ (∀n ∈ N : P(n) ⇒ P(n + 1)) ⇒ (∀n ∈ N : P(n))
c) Use (b) to show that:
P(n)
is true for all n ∈ N.
2. Sei P(n) eine Aussage über n ∈ N. Wir bezeichnen mit
P(0)
die Aussage P(n), wenn n = 0. Wenn P(n) für alle n ∈ N gilt, nennen wir P(n) eine
vollständig induktive Aussage.
a) Show that:
P(n) ⇒ P(2n)
b) Show that:
P(0) ∧ (∀n ∈ N : P(n) ⇒ P(2n)) ⇒ (∀n ∈ N : P(n))
c) Use (b) to show that:
P(n)
is true for all n ∈ N.
Aufgaben zur Vollständige Induktion
Aufgaben zur Vollständigen Induktion
1. Prove by induction that 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 for all n ≥ 1.
2. Prove by induction that for all n ≥ 1,
1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n ≤ 2 – 1/n.
3. Prove by induction that for all n ≥ 1,
1 + 2 + 4 + … + 2n = 2n+1 – 1.
4. Prove by induction that for all n ≥ 0,
1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … + (-1)n/n = ln(n+1).
5. Prove by induction that for any integer n ≥ 1,
22n > n2n.
