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Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0, wobei a, b und c bestimmte Koeffizienten sind. Diese Gleichung hat zwei Lösungen, die sogenannten Nullstellen. Die Lösungen der quadratischen Gleichung lassen sich mit dem Quadratischen Gleichungssatz ermitteln.
Der Quadratische Gleichungssatz lautet wie folgt:
x1 = –b⁄2a + √b2 – 4ac
x2 = –b⁄2a – √b2 – 4ac
Übungen mit lösungen zur Quadratische Gleichungen
Übungen mit lösungen zur Quadratische Gleichungen
1. Quadratische Gleichungen
Die Quadratische Gleichungen sind eine Familie von Gleichungen, die die Form
ax2 + bx + c = 0
haben, wobei a, b und c ganze Zahlen sind.
2. Lösungen von Quadratischen Gleichungen
Die Lösungen einer Quadratischen Gleichung sind die Werte von x, die die Gleichung erfüllen.
3. Die Quadratische Formel
Die Quadratische Formel ist ein algebraischer Ausdruck, der die Lösungen einer Quadratischen Gleichung berechnet.
Die Quadratische Formel lautet:
x = -b/2a ± √b2 – 4ac/2a
4. Anwendung der Quadratischen Formel
Um die Quadratische Formel anzuwenden, müssen Sie die Werte für a, b und c in die Formel einsetzen.
5. Diskriminante
Die Diskriminante ist ein Wert, der bestimmt, ob eine Quadratische Gleichung eine, zwei oder gar keine Lösung hat.
Die Diskriminante einer Quadratischen Gleichung lautet:
D = b2 – 4ac
6. Anwendung der Diskriminante
Wenn die Diskriminante einer Quadratischen Gleichung positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen.
Wenn die Diskriminante einer Quadratischen Gleichung negativ ist, hat die Gleichung keine Lösungen.
Wenn die Diskriminante einer Quadratischen Gleichung gleich null ist, hat die Gleichung eine Lösung.
7. Lösungen von Quadratischen Gleichungen mit der Diskriminante
Wenn die Diskriminante einer Quadratischen Gleichung positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen.
Wenn die Diskriminante einer Quadratischen Gleichung negativ ist, hat die Gleichung keine Lösungen.
Wenn die Diskriminante einer Quadratischen Gleichung gleich null ist, hat die Gleichung eine Lösung.
8. Lösungen von Quadratischen Gleichungen mit der Quadratischen Formel
Die Lösungen einer Quadratischen Gleichung mit der Quadratischen Formel sind die Werte von x, die die Gleichung erfüllen.
9. Kontrollaufgaben
Überprüfen Sie Ihr Wissen mit den folgenden Aufgaben.
10. Aufgabe 1
Lösen Sie die folgende Quadratische Gleichung:
2x2 + 5x – 3 = 0
Lösung:
x = -5/4 ± √25 – 4 × 2 × (-3)/4
x = -5/4 ± √49 – 24/4
x = -5/4 ± √25 – 24/4
x = -5/4 ± √1 – 24/4
x = -5/4 ± √-23 – 24/4
x = -5/4 ± -23 – 24/4
x = -5/4 ± -47/4
x = -11.75/1 oder 3.25/1
11. Aufgabe 2
Lösen Sie die folgende Quadratische Gleichung:
4x2 – 12x + 9 = 0
Lösung:
x = -12/8 ± √144 – 4 × 4 × 9/8
x = -12/8 ± √576 – 144/8
x = -12/8 ± √432 – 144/8
x = -12/8 ± √288 – 144/8
x = -12/8 ± √144 – 144/8
x = -12/8 ± √0 – 144/8
x = -12/8 ± -144/8
x = -1.5 oder 1.5
Aufgaben zur Quadratische Gleichungen
Aufgaben zur Quadratischen Gleichungen
1) Bestimme die Nullstellen der folgenden quadratischen Gleichungen:
a) x2 – 5x + 6 = 0
b) x2 + 3x – 4 = 0
c) 2x2 – 11x + 12 = 0
d) x2 – 2x – 15 = 0
2) Löse die folgenden Aufgaben, wobei a, b und c jeweils die Koeffizienten der jeweiligen quadratischen Gleichung sind:
a) x2 + 8x + 16 = 0
b) 2x2 – 5x – 3 = 0
c) x2 – 6x + 9 = 0
d) 3x2 – 14x + 49 = 0
3) Gegeben sei die quadratische Gleichung:
2x2 + 5x – 3 = 0
a) Finde die Lösung mittels Quadratwurzel.
b) Finde die Lösung mittels p-q-Formel.
4) Die Länge einer Strecke ist die Quadratwurzel aus dem Produkt der beiden Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Welche Gleichung ergibt sich, wenn die Länge der Strecke und eine Seite des Dreiecks gegeben sind? Löse die Gleichung für die unbekannte Seite.
5) Ein Päckchen soll in einem Paketshop abgeholt werden. Die Paketshops sind nur an Werktagen geöffnet. Die Anfahrt zum nächsten Paketshop beträgt 17 Kilometer. Wie weit muss man mit dem Auto fahren, wenn man die Strecke auf dem Hin- und Rückweg in gleichen Schritten zurücklegt und insgesamt mindestens 72 Kilometer zurücklegen möchte?
6) Ein Fahrradfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit eine Strecke von 24 Kilometern. Auf der Hälfte der Strecke trifft er einen Fußgänger, der die gleiche Strecke in der doppelten Zeit zurücklegt. Wie schnell fährt der Fahrradfahrer?
7) Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit eine Strecke von 36 Kilometern. Auf der Hälfte der Strecke trifft es einen Lastwagen, der die gleiche Strecke in der doppelten Zeit zurücklegt. Wie schnell fährt das Auto?
