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Komplexe Zahlen sind Zahlen, die aus einem Realteil und einem Imaginärteil bestehen. Die Gauss’sche Zahlendarstellung einer komplexen Zahl z = a + ib lautet:
a ist der Realteil, b der Imaginärteil und i die imaginäre Einheit. Wie bei den reellen Zahlen, so gibt es auch bei den komplexen Zahlen die vier Grundrechnungsarten. Allerdings ist die Multiplikation komplexer Zahlen nicht kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Faktoren ist wichtig. Weiterhin ist die Multiplikation mit der imaginären Einheit i nicht distributiv, was man mit einer Multiplikationstabelle feststellen kann:
i · i = i2 = -1
i · 1 = 1 · i = i
i · (-1) = (-1) · i = -i
i · 0 = 0 · i = 0
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z = a + ib und w = c + id ergibt:
z · w = (a + ib) · (c + id) = ac – bd + i(ad + bc)
Das rechte Ergebnis ist die Differenz der Produkte der Real- und Imaginärteile, das linke das Produkt der Summen der Real- und Imaginärteile. Die Division ist ebenfalls nicht kommutativ.
Die Konjugation einer komplexen Zahl z = a + ib ist z* = a – ib und entspricht der Spiegelung an der y-Achse im Koordinatensystem. Die Betragsquadratnorm einer komplexen Zahl z = a + ib lautet |z|2 = z · z* = a2 + b2. Die Betragsnorm |z| ist die Wurzel aus der Betragsquadratnorm.
Die Potenz n-te Potenz einer komplexen Zahl z = a + ib ergibt:
zn = (a + ib)n = an + n · an-1 · ib + … + in · bn
Die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl z = a + ib ergibt:
z1/n = (a + ib)1/n = r1/n · ei · (φ + 2kπ)/n mit k = 0, 1, …, n-1
r = |z| = Wurzel aus a2 + b2
φ = arctan(b/a)
Aus der Potenz- und Wurzelrechnung folgt, dass die komplexen Zahlen z = a + ib und w = c + id gleich sind, falls
a = c und b = d
a = -c und b = -d
Falls a = c und b = -d gilt, so sind z und w gleich konjugiert.
Übungen mit lösungen zur Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, das oft in den Anfangskursen eingeführt wird. In diesem Artikel werden wir einige Übungen zur Komplexen Zahlen durchführen und ihre Lösungen angeben. Durch das Lösen dieser Aufgaben werden Sie vertraut mit den Grundlagen der Komplexen Zahlen und den verschiedenen Operationen, die auf ihnen durchgeführt werden können.
Übung 1:
Finden Sie alle Quadratwurzeln von -1.
Lösung: Es gibt vier Quadratwurzeln von -1, die alle komplex sind. Diese sind:
1. Wurzel 2 von -1 + 0i
2. Wurzel 2 von -1 + 0i
3. Wurzel 2 von -1 – 0i
4. Wurzel 2 von -1 – 0i
Übung 2:
Finden Sie alle Lösungen zu der Gleichung x2 + 1 = 0.
Lösung: Die Lösungen dieser Gleichung sind komplex und heißen complexe Nullstellen. Die beiden Lösungen sind:
1. 0 + 1i
2. 0 – 1i
Übung 3:
Finden Sie alle Lösungen zu der Gleichung x2 – 2x + 5 = 0.
Lösung: Die Lösung dieser Gleichung ist komplex und lautet:
1. 1 + 2i
Übung 4:
Finden Sie alle Lösungen zu der Gleichung x2 + x + 1 = 0.
Lösung: Die Lösung dieser Gleichung ist komplex und lautet:
1. -1/2 + i * Wurzel 3 / 2
2. -1/2 – i * Wurzel 3 / 2
Aufgaben zur Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen können in verschiedenen Formen dargestellt werden. Die Standardform ist die sogenannte Algebraische Form. In dieser Form wird eine komplexe Zahl als Summe zweier reeller Zahlen dargestellt, wobei eine der Zahlen die sogenannte reelle Komponente ist und die andere Zahl die sogenannte imaginäre Komponente. Die imaginäre Komponente ist durch das Zeichen i gekennzeichnet, welches die Quadratwurzel aus -1 darstellt. Die Standardform einer komplexen Zahl lautet daher:
z = a + b i
wobei a die reelle Komponente und b die imaginäre Komponente ist. Eine weitere häufig genutzte Form ist die sogenannte Trigonometrische Form. In dieser Form wird eine komplexe Zahl als Produkt zweier reeller Zahlen dargestellt, wobei eine der Zahlen die sogenannte Amplitude und die andere Zahl die sogenannte Phase ist. Die Trigonometrische Form einer komplexen Zahl lautet daher:
z = r (cos φ + i sin φ)
wobei r die Amplitude und φ die Phase ist. Die Phase einer komplexen Zahl ist in Grad gemessen und liegt zwischen 0° und 360°. Die Amplitude einer komplexen Zahl ist die Länge des Vektors, der von der Ursprungszahl zur komplexen Zahl verläuft. Wenn die Amplitude einer komplexen Zahl gleich 0 ist, dann nennt man die Zahl reell, ansonsten nennt man sie komplex.
Eine komplexe Zahl kann auch in einer sogenannten Polarform dargestellt werden. In dieser Form wird eine komplexe Zahl als Produkt zweier reeller Zahlen dargestellt, wobei eine der Zahlen die sogenannte Radius und die andere Zahl die sogenannte Winkel ist. Die Polarform einer komplexen Zahl lautet daher:
z = r (cos φ + i sin φ)
wobei r der Radius und φ der Winkel ist. Der Winkel einer komplexen Zahl ist in Bogenmaß gemessen und liegt zwischen 0 und 2π. Die Radius einer komplexen Zahl ist die Länge des Vektors, der von der Ursprungszahl zur komplexen Zahl verläuft. Wenn der Radius einer komplexen Zahl gleich 0 ist, dann nennt man die Zahl reell, ansonsten nennt man sie komplex.
