Öffnen Übungen Integration Durch Substitution PDF
Der Integration durch Substitution ist ein numerisches Verfahren, mit dem die integrale einer Funktion bestimmt werden kann.
Das Verfahren basiert auf der Idee, dass man die Fläche unter einer Kurve dadurch approximieren kann, indem man die Kurve in eine Reihe von Geraden zerlegt.
Man nimmt an, dass die Kurve zwischen zwei benachbarten Punkten auf der x-Achse durch eine Gerade verbunden ist.
Dann kann man die Fläche unter der Kurve zwischen den Punkten approximieren, indem man die Flächen unter den Geraden berechnet.
Das Verfahren der Integration durch Substitution basiert auf derselben Idee, nur dass die Kurve durch eine Polynomfunktion approximiert wird.
Man nimmt an, dass die Kurve zwischen zwei benachbarten Punkten auf der x-Achse durch eine Polynomfunktion verbunden ist.
Dann kann man die Fläche unter der Kurve zwischen den Punkten approximieren, indem man die Flächen unter den Polynomen berechnet.
Die exakte Form der Polynomfunktion ist nicht wichtig, solange sie die Kurve gut approximiert.
Die Integration durch Substitution ist ein sehr nützliches Verfahren, weil es oft möglich ist, die integrale einer Funktion in eine integrale einer anderen Funktion zu verwandeln, die einfacher zu integrieren ist.
Zum Beispiel, wenn die Funktion f(x) = x2, dann ist die integrale:
∫f(x)dx = ∫x2dx
Wenn man die Funktion f(x) = x2 mit dem Verfahren der Integration durch Substitution integrieren will, dann kann man die Substitution u = x2 machen.
Dann ist die integrale:
∫f(x)dx = ∫u2du
Die integrale von u2 ist einfacher zu integrieren als die integrale von x2, weil u2 eine parabolische Funktion ist.
Übungen mit lösungen zur Integration Durch Substitution
Übungen mit Lösungen zur Integration durch Substitution
1. Aufgabe:
Findet die Integrale:
Lösung:
a) $$int frac{1}{sqrt{4-x^2}} , dx$$
b) $$int frac{1}{sqrt{4+x^2}} , dx$$
c) $$int frac{1}{sqrt{4-x^2}} , dx$$
d) $$int frac{1}{sqrt{16-x^2}} , dx$$
e) $$int frac{1}{sqrt{16+x^2}} , dx$$
f) $$int frac{1}{sqrt{9-x^2}} , dx$$
g) $$int frac{1}{sqrt{9-4x^2}} , dx$$
h) $$int frac{1}{sqrt{9-16x^2}} , dx$$
i) $$int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx$$
j) $$int frac{1}{sqrt{1+x^2}} , dx$$
k) $$int frac{1}{sqrt{4-x^2}} , dx$$
l) $$int frac{1}{sqrt{16-x^2}} , dx$$
m) $$int frac{1}{sqrt{25-x^2}} , dx$$
n) $$int frac{1}{sqrt{36-x^2}} , dx$$
2. Aufgabe:
Findet die Integrale:
Lösung:
a) $$int frac{1}{sqrt{4-x^2}} , dx$$
b) $$int frac{1}{sqrt{4+x^2}} , dx$$
c) $$int frac{1}{sqrt{4-x^2}} , dx$$
d) $$int frac{1}{sqrt{16-x^2}} , dx$$
e) $$int frac{1}{sqrt{16+x^2}} , dx$$
f) $$int frac{1}{sqrt{9-x^2}} , dx$$
g) $$int frac{1}{sqrt{9-4x^2}} , dx$$
h) $$int frac{1}{sqrt{9-16x^2}} , dx$$
i) $$int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx$$
j) $$int frac{1}{sqrt{1+x^2}} , dx$$
k) $$int frac{1}{sqrt{4-x^2}} , dx$$
l) $$int frac{1}{sqrt{16-x^2}} , dx$$
m) $$int frac{1}{sqrt{25-x^2}} , dx$$
n) $$int frac{1}{sqrt{36-x^2}} , dx$$
Aufgaben zur Integration Durch Substitution
Aufgaben zur Integration durch Substitution
In diesem Abschnitt werden wir Aufgaben behandeln, in denen die Integration durch Substitution angewendet werden kann. Dabei ist es wichtig zu beachten, dass nicht jede Aufgabe, in der eine Substitution vorgenommen wird, auch tatsächlich durch Substitution gelöst werden kann. Es gibt bestimmte Kriterien, die erfüllt sein müssen, um die Methode der Substitution anwenden zu können. Zunächst einmal muss es sich um ein bestimmtes Integral handeln, dessen Integrationsgrenzen konstant sind. Zum Beispiel können wir das Integral
∫01 dx / (x2 + a2) nicht durch Substitution lösen, weil die Integrationsgrenzen nicht konstant sind. Wir können jedoch das Integral
∫01 dx / (x2 + a2) durch Substitution lösen, weil die Integrationsgrenzen konstant sind. Die zweite Bedingung, die erfüllt sein muss, ist, dass die Funktion, die integriert wird, eine inverse Funktion hat. Dies bedeutet, dass für jede x-Koordinate genau eine y-Koordinate existiert. Wenn dies nicht der Fall ist, kann die Substitution nicht angewendet werden. Zum Beispiel kann das Integral
∫01 dx / √(x2 – a2) nicht durch Substitution gelöst werden, weil die Funktion keine inverse Funktion hat. Beachten Sie, dass das Vorzeichen unter der Wurzel keine Rolle spielt, da sich das Vorzeichen bei der Quadratur der Wurzel aufheben würde.
Wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, können wir die Substitution anwenden. Die Substitution selbst ist relativ einfach. Zunächst einmal wählen wir eine Variable, die wir für die Integration verwenden möchten. Diese Variable sollte so gewählt werden, dass sie die Bedingungen für die Substitution erfüllt. Zum Beispiel können wir das Integral
∫01 dx / (x2 + a2) durch Substitution lösen, wenn wir u als die Substitutionsvariable wählen. Wir müssen auch eine Gleichung finden, die u in Bezug auf x setzt. Diese Gleichung sollte so gewählt werden, dass sie die Bedingungen für die Substitution erfüllt. In diesem Fall können wir die Gleichung u = x2 + a2 wählen. Beachten Sie, dass diese Gleichung die Bedingungen für die Substitution erfüllt, da sie eine inverse Funktion hat. Wenn wir diese Gleichung in das Integral einsetzen, erhalten wir
∫01 dx / (x2 + a2) = ∫01 du / u
Wir können nun die Integration durchführen, indem wir u in Bezug auf x setzen. In diesem Fall ist u = x2 + a2, also ist x = √(u – a2). Wenn wir dies in das Integral einsetzen, erhalten wir
∫01 dx / (x2 + a2) = ∫01 du / u = ∫√(u – a2)1 du / u
Wir können nun die Integration durchführen, indem wir u in Bezug auf x setzen. In diesem Fall ist u = x2 + a2, also ist x = √(u – a2). Wenn wir dies in das Integral einsetzen, erhalten wir
∫01 dx / (x2 + a2) = ∫01 du / u = ∫√(u – a2)1 du / u = ln(√(u – a2) + u)
Wir können nun u in Bezug auf x setzen. In diesem Fall ist u = x2 + a2, also ist x = √(u – a2). Wenn wir dies in das Integral einsetzen, erhalten wir
∫01 dx / (x2 + a2) = ∫01 du / u = ∫√(u – a2)1 du / u = ln(√(u – a2) + u)
Wir können nun die Integration durchführen und erhalten
∫01 dx / (x2 + a2) = ∫01 du / u = ∫√(u – a2)1 du / u = ln(√(u – a2) + u) = ln(x2 + a2) + C
Wir können nun die Integration durchführen und erhalten
∫01 dx / (x2 + a2) = ∫01 du / u = ∫√(u – a2)1 du / u = ln(x2 + a2) + C
Wenn wir x in Bezug auf u setzen, erhalten wir
∫01 dx / (x2 + a2) = ∫01 du / u = ∫√(u – a2)1 du / u = ln(x2 + a2) + C = ln(√(x2 + a2)2) + C = ln(x2 + a2) + C
Das ist die Lösung des Integrals. Beachten Sie, dass wir die Konstante der Integration, C, nicht berechnen können, da wir nicht wissen, welchen Wert x hat. Wir können jedoch einen bestimmten Wert für x wählen und den Wert von C berechnen. Zum Beispiel können wir x = 0 wählen. In diesem Fall ist C = ln(a2). Daher ist die Lösung des Integrals
∫01 dx / (x2 + a2) = ln(x2 + a2) + ln(a2) = ln(x2 + a2)2
Das ist die Lösung des Integrals. Beachten Sie, dass wir die Konstante der Integration, C, nicht berechnen können, da wir nicht wissen, welchen Wert x hat. Wir können jedoch einen bestimmten Wert für x wählen und den Wert von C berechnen. Zum Beispiel können wir x = 0 wählen. In diesem Fall ist C = ln(a2). Daher ist die Lösung des Integrals
∫01 dx / (x2 + a2) = <
