Öffnen – Übungen Gaußsches Eliminationsverfahren PDF
mit der Gleichung nx+my=z
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Er wurde ursprünglich von Carl Friedrich Gauß entwickelt und ist nach ihm benannt.
Der Algorithmus basiert auf der Idee, dass man ein lineares Gleichungssystem in eine Reihe von Einzelgleichungen umwandeln kann, die nacheinander gelöst werden können. Dies geschieht, indem man zunächst eine der Variablen eliminiert, dann die nächste und so weiter, bis nur noch eine Gleichung übrig bleibt, die leicht gelöst werden kann.
Die Gleichung, die man zur Lösung des linearen Gleichungssystems benutzt, hat die Form:
nx + my = z
Wobei n und m die Anzahl der Variablen im Gleichungssystem sind und x und y die Variablen, die eliminiert werden sollen. z ist die Variable, die man auf der linken Seite der Gleichung isolieren möchte.
Das Verfahren funktioniert folgendermaßen:
- Man wählt eine der Variablen, die eliminiert werden sollen, und multipliziert die Gleichung mit der Kehrwert von dem Koeffizienten der Variable auf der linken Seite der Gleichung.
- Man addiert die so entstandene Gleichung zu allen anderen Gleichungen im System, in denen die Variable vorkommt.
- Man wiederholt diesen Vorgang mit der nächsten Variable, bis nur noch eine Gleichung übrig bleibt.
- Die Variable, die man auf der linken Seite der Gleichung isolieren wollte, ist nun auf der rechten Seite der Gleichung und kann leicht gelöst werden.
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein sehr nützlicher Algorithmus, weil es relativ einfach ist und sich für eine Vielzahl von Anwendungen eignet. Es wird häufig in der Ingenieurwissenschaft, der Physik und der Mathematik verwendet.
Übungen mit lösungen zur Gaußsches Eliminationsverfahren
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Es wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt und ist nach ihm benannt.
Das Gaußsche Eliminationsverfahren funktioniert folgendermaßen:
- Man schreibt das Gleichungssystem so um, dass auf der linken Seite nur noch die Unbekannten stehen und auf der rechten Seite nur noch die Konstanten.
- Man eliminiert die Unbekannten nacheinander, indem man sie mit den anderen Unbekannten multipliziert und dann von der entsprechenden Gleichung subtrahiert.
- Nachdem alle Unbekannten eliminiert wurden, löst man das so entstandene Gleichungssystem nach der letzten Unbekannten auf.
Das Gaußsche Eliminationsverfahren lässt sich auch auf nichtlineare Gleichungssysteme anwenden. In diesem Fall wird das Verfahren allerdings nur zur Näherung der Lösung des Gleichungssystems verwendet.
Die folgenden Übungen sollen Ihnen helfen, das Gaußsche Eliminationsverfahren besser zu verstehen. Lösen Sie die Aufgaben und vergleichen Sie Ihre Lösungen mit den Musterlösungen.
Übung 1
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren:
begin{align*} x+y&=3\ 2x+3y&=11 end{align*}
Musterlösung
begin{align*} x+y&=3\ 2x+3y&=11 end{align*}
Zu Beginn schreiben wir das Gleichungssystem so um, dass auf der linken Seite nur noch die Unbekannten stehen und auf der rechten Seite nur noch die Konstanten:
begin{align*} x+y-3&=0\ 2x+3y-11&=0 end{align*}
Nun eliminieren wir die Unbekannten nacheinander. Zuerst eliminieren wir $x$:
begin{align*} x+y-3&=0\ -x+2y-8&=0 end{align*}
Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit $-1$ und addieren beide Gleichungen:
begin{align*} 3y&=11\ y&=frac{11}{3} end{align*}
Nun subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten:
begin{align*} 2y&=8\ y&=4 end{align*}
Damit ist $y$ eliminiert. Nun lösen wir die zweite Gleichung nach $x$:
begin{align*} -x+2y-8&=0\ x&=2y-8 end{align*}
Einsetzen von $y=4$ ergibt:
begin{align*} x&=2cdot 4-8\ x&=0 end{align*}
Damit ist das Gleichungssystem gelöst. Die Lösung ist $(x,y)=(0,4)$.
Übung 2
Lösen Sie das folgende nichtlineare Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren:
begin{align*} x^2+y^2&=1\ x+y&=2 end{align*}
Musterlösung
begin{align*} x^2+y^2&=1\ x+y&=2 end{align*}
Zu Beginn schreiben wir das Gleichungssystem so um, dass auf der linken Seite nur noch die Unbekannten stehen und auf der rechten Seite nur noch die Konstanten:
begin{align*} x^2+y^2-1&=0\ x+y-2&=0 end{align*}
Nun eliminieren wir die Unbekannten nacheinander. Zuerst eliminieren wir $x$:
begin{align*} x^2+y^2-1&=0\ -x^2+x+y-2&=0 end{align*}
Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit $-1$ und addieren beide Gleichungen:
begin{align*} y^2-x+y-2&=0\ y(y-1)+x(y-1)&=0 end{align*}
Nun faktorisieren wir links und rechts:
begin{align*} (y-1)(y+x)&=0\ y-1&=0quadtext{oder}quad y+x=0 end{align*}
Damit ist $x$ eliminiert. Nun lösen wir die erste Gleichung nach $y$:
begin{align*} x^2+y^2-1&=0\ y^2&=1-x^2 end{align*}
Einsetzen von $x=0$ ergibt:
begin{align*} y^2&=1\ y&=pm 1 end{align*}
Substituiert man $y=1$ in die zweite Gleichung, so erhält man $x=1$. Substituiert man $y=-1$ in die zweite Gleichung, so erhält man $x=-1$. Damit sind die Lösungen $(x,y)=(1,1)$ und $(x,y)=(-1,-1)$.
Aufgaben zur Gaußsches Eliminationsverfahren
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Es wird häufig verwendet, um lineare Gleichungssysteme in Matrixform zu lösen. Das Verfahren ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt.
Das Verfahren funktioniert wie folgt: Zunächst wird eine Matrix mit den Koeffizienten der Gleichungen erstellt. Dann werden die Koeffizienten so manipuliert, dass in der ersten Gleichung nur ein Koeffizient (die sogenannte Hauptdiagonale) nicht null ist. In den anderen Gleichungen werden dann alle Koeffizienten auf null gesetzt. Dies wird so lange wiederholt, bis nur noch eine Gleichung übrig bleibt. Die Lösung des Gleichungssystems ergibt sich dann aus dieser Gleichung.
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein sehr effektives Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Es ist jedoch nicht fehlerfrei. In manchen Fällen kann es zu Fehlern in der Berechnung kommen. Daher ist es wichtig, das Verfahren sorgfältig anzuwenden und zu überprüfen.
