Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Er wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahr 1809 entdeckt.
Im Allgemeinen kann ein lineares Gleichungssystem wie folgt ausgedrückt werden:
Ax + By = C
Dabei sind A, B und C reelle Zahlen und x und y sind die zu bestimmenden Variablen. Der Gauß-Algorithmus bietet eine Möglichkeit, solche Gleichungssysteme zu lösen.
Das Verfahren funktioniert wie folgt: Zunächst wird das erste Gleichungssystem so umformt, dass auf einer Seite nur die Variable x und auf der anderen Seite alle anderen Zahlen stehen. Dies kann man zum Beispiel so machen:
Ax = C – By
Anschließend wird das zweite Gleichungssystem ebenfalls umformt, sodass auf einer Seite nur die Variable y und auf der anderen Seite alle anderen Zahlen stehen. Dies kann man zum Beispiel so machen:
By = C – Ax
Nun können die beiden Gleichungen nach x bzw. y gelöst werden und so die gesuchten Variablen bestimmt werden.
Übungen mit lösungen zur Gauß Algorithmus
Der Gauß-Algorithmus ist ein algorithmus zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Er geht auf den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß zurück, der ihn 1821 in seiner Arbeit „Disquisitiones Arithmeticae“ beschrieb.
Der Gauß-Algorithmus wird auch als Gauß-Jordan-Algorithmus bezeichnet, da er weiter von Wilhelm Jordan entwickelt wurde. Er ist ein Iterationsverfahren, das zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit n Variablen dient.
Die Idee des Gauß-Algorithmus ist es, das Gleichungssystem Schritt für Schritt in ein anderes Gleichungssystem umzuwandeln, bis es in einem sogenannten Triangulationsform ist. In dieser Form ist das Gleichungssystem leicht zu lösen, da es nur noch eine Variable hat.
Der Gauß-Algorithmus ist ein sehr nützlicher Algorithmus, da lineare Gleichungssysteme in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auftreten. Er kann auch dazu verwendet werden, Matrizen zu invertieren.
Beispiel:
Wir betrachten das Gleichungssystem
x1 + 3x2 = 5
2x1 + 5x2 = 12
Das Gleichungssystem kann in Matrixschreibweise dargestellt werden:
A = 1 3 x = 5 b = 12
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Die erste Zeile des Gleichungssystems kann wie folgt in die zweite Zeile eingesetzt werden:
2x1 + 5x2 = 12
-x1 + 2x2 = 3
Das Gleichungssystem kann nun in Matrixschreibweise dargestellt werden:
A = 1 3 x = 5 b = 12
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Das Gleichungssystem ist nun in einer Triangulationsform und kann leicht gelöst werden. Wir erhalten:
x2 = 3
x1 = 2
Aufgaben zur Gauß Algorithmus
Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Er wurde ursprünglich von Carl Friedrich Gauß entwickelt und trägt daher auch seinen Namen. Der Gauß-Algorithmus ist eines der am häufigsten verwendeten Verfahren in der Numerik und findet Anwendung in zahlreichen Bereichen der Mathematik, Physik und Informatik.
Das lineare Gleichungssystem, das der Gauß-Algorithmus löst, hat die allgemeine Form:
A · x = b,
wobei A eine quadratische Matrix ist, x ein Vektor unbekannter Größe ist und b ein Vektor derselben Größe ist.
Der Gauß-Algorithmus löst das Gleichungssystem, indem er die Matrix A in eine trianguläre Matrix umwandelt. Dies geschieht, indem in jedem Schritt eines der Elemente der Matrix A durch ein Element der Matrix b ersetzt wird. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis nur noch ein Element in der Matrix A übrig bleibt. Das letzte Element in der Matrix A wird dann mit dem entsprechenden Element in der Matrix b multipliziert und das Ergebnis wird in den Vektor x eingesetzt.
Der Gauß-Algorithmus ist ein sehr effizientes Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Allerdings ist er auch anfällig für Fehler, wenn die Matrix A nicht quadratisch ist oder wenn die Matrix A nicht invertierbar ist.
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