Öffnen – Übungen Gebrochen Rationale Funktionen PDF
Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier polynomialer Funktionen dargestellt werden kann. Die allgemeine Form einer rationalen Funktion lautet:
f(x) = (ax^n + bx^{n-1} + … + cx + d) / (ex^m + fx^{m-1} + … + gx + h)
Wenn n und m ganze Zahlen sind, n > m, und a, b, …, h nicht alle Null sind, dann nennt man f eine gebrochene rationale Funktion.
Die Funktion f hat die folgenden Eigenschaften:
- f ist stetig, wenn a, b, …, h nicht alle gleich Null sind.
- f hat genau n asymptotische Geraden, falls nicht alle Koeffizienten von x^n in der Zählerfunktion Null sind.
- f hat genau m asymptotische Geraden, falls nicht alle Koeffizienten von x^m in der Nennerfunktion Null sind.
- f hat unendlich viele Extremwerte, falls nicht alle Koeffizienten von x^n in der Zählerfunktion Null sind.
- f hat keine Extremwerte, falls nicht alle Koeffizienten von x^m in der Nennerfunktion Null sind.
Die Funktion f hat asymptotische Geraden y = mx + b, wobei m ein Koeffizient von x^n in der Zählerfunktion ist und b ein Koeffizient von x^{n-1} in der Zählerfunktion oder ein Koeffizient von x^m in der Nennerfunktion.
Die Funktion f hat ein Extremum an der Stelle x_0, wenn x_0 ein Nullstelle der Ableitungsfunktion ist.
Die Ableitungsfunktion der gebrochen rationalen Funktion f ist:
f'(x) = (aex^{n+m} + bex^{n+m-1} + … + cex^{m+1} + dex^m) / (ex^{2m} + fex^{2m-1} + … + gex^m + h)
Die Nullstellen der Ableitungsfunktion sind die Stellen, an denen die Funktion ein Extremum hat.
Übungen mit lösungen zur Gebrochen Rationale Funktionen
In diesem Artikel finden Sie verschiedene Übungen zum Thema gebrochene rationale Funktionen mit Lösungen.
Aufgabe 1:
Finden Sie die Lösungen der folgenden gebrochen rationalen Funktionen:
a) f (x) = 2x – 1
Lösung:
f (x) = 2x – 1
f (0) = 2 * 0 – 1 = -1
f (1) = 2 * 1 – 1 = 1
b) f (x) = 3x^2 – 1
Lösung:
f (x) = 3x^2 – 1
f (0) = 3 * 0^2 – 1 = -1
f (1) = 3 * 1^2 – 1 = 2
Aufgabe 2:
Finden Sie die Lösung der folgenden gebrochen rationalen Funktion:
f (x) = (x-1)/(x+2)
Lösung:
f (x) = (x-1)/(x+2)
f (0) = (0-1)/(0+2) = -1/2
f (1) = (1-1)/(1+2) = 0/3 = 0
Aufgaben zur Gebrochen Rationale Funktionen
Aufgaben zur Gebrochen Rationalen Funktionen
1. Finde die asymptotische Vertikale der Funktion f(x)=1/2x+3. Skizziere die Funktion.
2. Berechne f(x) für x = -2, -1,0,1,2. Skizziere die Funktion.
3. Finde die x-Achsenabschnitte der Funktion f(x)=1/x-2. Skizziere die Funktion.
4. Finde den Funktionswert f(x) für x=1/2 und 1. Skizziere die Funktion.
5. Finde den größten und kleinsten Funktionswert der Funktion f(x)=3/x+2. Skizziere die Funktion.
6. Bestimme die Symmetrieachse, den Schnittpunkt mit der y-Achse und den Hauptschnittpunkt der Funktion f(x)=1/x-1. Skizziere die Funktion.
7. Finde den Funktionswert f(x) für x=0 und 1/2. Skizziere die Funktion.
8. Finde den größten und kleinsten Funktionswert der Funktion f(x)=1/1-x. Skizziere die Funktion.
9. Finde die asymptotische Vertikale der Funktion f(x)=1/1+x. Skizziere die Funktion.
10. Bestimme die Symmetrieachse, den Schnittpunkt mit der y-Achse und den Hauptschnittpunkt der Funktion f(x)=1/x+1. Skizziere die Funktion.
