Öffnen Übungen Partiellen Integration PDF
Die partielle Integration ist ein mathematischer Trick, der oft angewendet wird, um bestimmte Integrale zu lösen. Die Idee ist, dass man ein Integral in zwei Teile zerlegen kann, indem man eine der Variablen integriert und die andere differenziert. Dies kann sehr nützlich sein, wenn das Integral nicht in der Standardform vorliegt, in der es normalerweise integriert wird.
Zum Beispiel ist das Integral von x * sin (x) nicht in der Standardform, aber wenn wir x integrieren und sin (x) differenzieren, können wir das Integral in zwei Teile zerlegen:
x * sin (x) = x * (-cos (x)) + Integral von cos (x)
Wir können dann den ersten Teil integrieren und den zweiten Teil als ein unbestimmtes Integral lassen. Beachten Sie, dass wir den ersten Teil mit einem Minuszeichen vor dem Integralzeichen integrieren, weil wir die Reihenfolge der Operationen ändern (zuerst integrieren, dann differenzieren).
Dieser Trick kann sehr nützlich sein, wenn Sie ein Integral in einer anderen Form lösen müssen. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass Sie nicht einfach willkürlich Variablen integrieren und differenzieren können – Sie müssen sicherstellen, dass das Integral nach der partiellen Integration noch in einer Standardform ist, in der es integriert werden kann.
Übungen mit lösungen zur Partiellen Integration
Partielle Integration ist ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik. Es kann verwendet werden, um bestimmte Integrationen durchzuführen, die andernfalls nicht möglich wären. Die Partielle Integration kann auch verwendet werden, um bestimmte unbestimmte Integrale zu bestimmen. Wenn Sie ein Problem mit der Partiellen Integration haben, können Sie hier einige Übungen mit Lösungen finden.
Übung 1:
Bestimmen Sie die folgende unbestimmte Integral:
∫ (2x+3)ex dx
Lösung:
Wir nehmen an, dass unsere unbestimmte Integral in der Form
∫ u(x)v'(x) dx
ist. In diesem Fall ist u(x) = 2x + 3 und v'(x) = ex. Wir können die partielle Integration verwenden, um diese unbestimmte Integral zu bestimmen.
∫ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) – ∫ u'(x)v(x) dx
Wir berechnen zuerst u(x)v(x):
u(x)v(x) = (2x+3)ex
Wir berechnen nun u'(x)v(x):
u'(x)v(x) = 2ex + 3ex
∫ u(x)v'(x) dx = (2x+3)ex – ∫ 2ex + 3ex dx
∫ u(x)v'(x) dx = (2x+3)ex – [2ex + 3ex]
∫ u(x)v'(x) dx = (2x+3)ex – 2ex – 3ex
∫ u(x)v'(x) dx = (2x+3)ex – 5ex
Die Lösung der unbestimmten Integral ist also:
∫ (2x+3)ex dx = (2x+3)ex – 5ex + C
Übung 2:
Bestimmen Sie die folgende unbestimmte Integral:
∫ sin(x)cos(x) dx
Lösung:
Wir nehmen an, dass unsere unbestimmte Integral in der Form
∫ u(x)v'(x) dx
ist. In diesem Fall ist u(x) = sin(x) und v'(x) = cos(x). Wir können die partielle Integration verwenden, um diese unbestimmte Integral zu bestimmen.
∫ u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) – ∫ u'(x)v(x) dx
Wir berechnen zuerst u(x)v(x):
u(x)v(x) = sin(x)cos(x)
Wir berechnen nun u'(x)v(x):
u'(x)v(x) = cos(x)cos(x) – sin(x)sin(x)
∫ u(x)v'(x) dx = sin(x)cos(x) – ∫ cos(x)cos(x) – sin(x)sin(x) dx
∫ u(x)v'(x) dx = sin(x)cos(x) – ∫ cos(2x) – sin(2x) dx
∫ u(x)v'(x) dx = sin(x)cos(x) – ∫ cos(2x) dx + ∫ sin(2x) dx
∫ u(x)v'(x) dx = sin(x)cos(x) – sin(2x) + ∫ sin(2x) dx
∫ u(x)v'(x) dx = sin(x)cos(x) – sin(2x) + (-cos(2x))
∫ u(x)v'(x) dx = sin(x)cos(x) – sin(2x) – cos(2x)
Die Lösung der unbestimmten Integral ist also:
∫ sin(x)cos(x) dx = sin(x)cos(x) – sin(2x) – cos(2x) + C
Aufgaben zur Partiellen Integration
Partielle Integration ist ein wichtiger Teil der Mathematik, die vielen Studenten Probleme bereitet. Dabei geht es darum, eine bestimmte Art von Gleichungen zu lösen, in denen eine oder mehrere Unbekannte auftreten. Die Methode der partiellen Integration kann jedoch nur dann angewendet werden, wenn die Gleichung eine bestimmte Form aufweist.
Eine typische Aufgabe zur partiellen Integration sieht folgendermaßen aus: „Integriere x^4 – 2x^2 + 5 unter der Bedingung, dass x = 1.“ In diesem Fall ist x die einzige Unbekannte in der Gleichung. Die Lösung dieser Aufgabe würde lauten: „x^5/5 – x^3/3 + 5x.“
Wenn Sie versuchen, eine Aufgabe zur partiellen Integration zu lösen, ist es wichtig, dass Sie die Gleichung in die richtige Form bringen. Dies kann manchmal schwierig sein, aber es lohnt sich, etwas Zeit darauf zu verwenden. Sobald Sie die Gleichung in die richtige Form gebracht haben, ist es meistens einfach, die Aufgabe zu lösen.
Wenn Sie weitere Hilfe bei der Lösung von Aufgaben zur partiellen Integration benötigen, können Sie sich an einen Mathematiktutor wenden oder ein gutes Lehrbuch zur Thematik konsultieren.
