Mathe Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungen mit lösungen PDF

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von zufälligen Phänomenen und deren Wahrscheinlichkeiten befasst. Wahrscheinlichkeitsrechnung wird häufig in anderen Bereichen der Mathematik, der Naturwissenschaften, der Sozialwissenschaften und der Technik verwendet, um Schlussfolgerungen über zufällige Phänomene zu ziehen.

Wenn Sie sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung befassen, werden Sie feststellen, dass es verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten gibt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis eintritt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auf verschiedene Weise gemessen werden, zum Beispiel als Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, Wahrscheinlichkeit pro Einheit der Beobachtung oder Wahrscheinlichkeit pro Einheit der Versuchsreihe.

Es gibt zwei Haupttypen der Wahrscheinlichkeit, die bedingte Wahrscheinlichkeit und die unbedingte Wahrscheinlichkeit. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Die unbedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, unabhängig davon, ob ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.

Übungen mit lösungen zur Mathe Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Ereignisse, Elementarereignisse und Ursachen

Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit der Vorhersage von Ereignissen. Ein Ereignis ist jede Zufallsauswahl, die ein bestimmtes Ergebnis hat. Beispiele für Ereignisse sind:

das Ziehen einer Kugel aus einer Urne,
das Werfen einer Münze,
das Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel.

Die Ereignisse können auch abstrakter sein, zum Beispiel:

das Ziehen einer Zahl aus dem Zahlenbereich 1 bis 10,
das Ziehen einer Person aus einer bestimmten Gruppe.

Die Ereignisse können auch vom gleichen Typ sein, zum Beispiel:

das Ziehen zweier Kugeln aus einer Urne,
das Ziehen dreier Karten aus einem Kartenspiel.

Die Ereignisse können auch verschiedene Typen sein, zum Beispiel:

das Ziehen einer Kugel aus einer Urne und das Werfen einer Münze.

Ein Ereignis kann auch eine Kombination von Ereignissen sein, zum Beispiel:

das Ziehen einer roten Kugel aus einer Urne und das Werfen einer Münze.

Ein Ereignis kann auch eine Reihe von Ereignissen sein, zum Beispiel:

das Ziehen von drei Kugeln aus einer Urne.

Jedes Ereignis hat eine bestimmte Anzahl von Elementarereignissen. Die Elementarereignisse sind die einzelnen Ergebnisse, die das Ereignis haben kann. Beispielsweise hat das Ereignis „das Ziehen einer Kugel aus einer Urne“ die Elementarereignisse „Kugel 1“, „Kugel 2“, „Kugel 3“, „Kugel 4“, „Kugel 5“ und „Kugel 6“.

Die Elementarereignisse eines Ereignisses können auch abstrakter sein, zum Beispiel:

die Zahl 1,
die Zahl 2,
die Zahl 3,
die Zahl 4,
die Zahl 5,
die Zahl 6,
die Zahl 7,
die Zahl 8,
die Zahl 9,
die Zahl 10.

Die Elementarereignisse eines Ereignisses können auch vom gleichen Typ sein, zum Beispiel:

das Ziehen einer roten Kugel und einer schwarzen Kugel aus einer Urne,
das Ziehen zweier Karten mit dem Wert 7 aus einem Kartenspiel.

Die Elementarereignisse eines Ereignisses können auch verschiedene Typen sein, zum Beispiel:

das Ziehen einer Kugel aus einer Urne und das Werfen einer Münze.

Ein Elementarereignis kann auch eine Kombination von Elementarereignissen sein, zum Beispiel:

das Ziehen einer roten Kugel aus einer Urne und das Werfen einer Münze.

Ein Elementarereignis kann auch eine Reihe von Elementarereignissen sein, zum Beispiel:

das Ziehen von drei Kugeln aus einer Urne.

Jedes Ereignis hat eine bestimmte Anzahl von Ursachen. Die Ursachen sind die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit das Ereignis eintritt. Beispielsweise ist die Ursache des Ereignisses „das Ziehen einer Kugel aus einer Urne“ die Bedingung, dass die Urne mit Kugeln gefüllt ist. Die Ursachen eines Ereignisses können auch abstrakter sein, zum Beispiel:

die Bedingung, dass die Zahl 1 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 2 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 3 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 4 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 5 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 6 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 7 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 8 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 9 gezogen wird,
die Bedingung, dass die Zahl 10 gezogen wird.

Die Ursachen eines Ereignisses können auch vom gleichen Typ sein, zum Beispiel:

die Bedingung, dass eine rote Kugel und eine schwarze Kugel gezogen werden,
die Bedingung, dass zwei Karten mit dem Wert 7 gezogen werden.

Die Ursachen eines Ereignisses können auch verschiedene Typen sein, zum Beispiel:

die Bedingung, dass eine Kugel aus einer Urne gezogen und eine Münze geworfen wird.

Eine Ursache kann auch eine Kombination von Ursachen sein, zum Beispiel:

die Bedingung, dass eine rote Kugel aus einer Urne gezogen und eine Münze geworfen wird.

Eine Ursache kann auch eine Reihe von Ursachen sein, zum Beispiel:

die Bedingung, dass drei Kugeln aus einer Urne gezogen werden.

2. Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

Jedes Ereignis hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis eintritt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auch als Bruch oder Dezimalzahl ausgedrückt werden.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird oft als p bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses wird oft als q bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich aus der Anzahl der Elementarereignisse, die das Ereignis haben kann, und der Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Elementarereignisses. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich wie folgt:

p = Anzahl der Elementarereignisse, die das Ereignis haben kann

Beispiel:

Angenommen, wir haben eine Urne, die sechs Kugeln enthält. Drei der Kugeln sind rot, und die anderen drei sind schwarz. Wir ziehen eine Kugel aus der Urne, ohne sie vorher zu sehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine rote Kugel ziehen, berechnet sich wie folgt:

p = 3/6 = 1/2 = 0,5

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine rote Kugel ziehen, ist 0,5.

Wenn wir die Kugel wieder in die Urne zurücklegen und erneut ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine schwarze Kugel ziehen, ebenfalls 0,5.

Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses berechnet sich aus der Anzahl der Elementarereignisse, die das Ereignis haben kann, und der Wahrscheinlichkeit, dass das Elementarereignis eintritt. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses berechnet sich wie folgt:

q = Anzahl der Elementarereignisse, die das Ereignis nicht haben kann

Beispiel:

q = 3/6 = 1/2 = 0,5

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine schwarze Kugel ziehen, ist 0,5.

Wenn wir die Kugel wieder in die Urne zurücklegen und erneut ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine rote Kugel ziehen, ebenfalls 0,5.

3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

p = Anzahl der Elementarereignisse, die das Ereignis haben kann

Beispiel:

Angenommen, wir werfen eine Münze. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf Kopf landet, berechnet sich wie folgt:

p = 1/2 = 0,5

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf Kopf landet, ist 0,5.

Angenommen, wir haben einen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine 6 würfeln, berechnet sich wie folgt:

p = 1/6 = 0,167

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine 6 würfeln,

Aufgaben zur Mathe Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben zur Mathe Wahrscheinlichkeitsrechnung:

1) Ereignisse A und B sind unabhängig. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

a) P(A|B) = P(A)

b) P(A|B) = P(A)*P(B)

c) P(A and B) = P(A)*P(B)

d) P(A and B) = P(A|B)*P(B)

2) Ereignisse A und B sind unabhängig. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

a) P(A or B) = P(A)+P(B)

b) P(A or B) = P(A)*P(B)

c) P(not A and not B) = P(not A)*P(not B)

d) P(not A or not B) = P(not A)+P(not B)

3) Ereignisse A und B sind unabhängig. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

a) P(A or B) = P(A)+P(B)

b) P(A or B) = P(A)*P(B)

c) P(not A and not B) = P(not A)*P(not B)

d) P(not A or not B) = P(not A)+P(not B)

4) Ereignisse A und B sind unabhängig. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

a) P(A and B) = P(A)*P(B)

b) P(A and B) = P(A|B)*P(B)

c) P(A or B) = P(A)+P(B)-P(A and B)

d) P(not A or B) = P(not A)+P(B)-P(not A and B)

5) Ereignisse A und B sind unabhängig. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

a) P(A|B) = P(A)*P(B)

b) P(A|B) = P(A)+P(B)-P(A and B)

c) P(A and B) = P(A|B)*P(B)

d) P(A and B) = P(A)*P(B)

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