Partielle Ableitungen Übungen mit Lösungen PDF

Die partielle Ableitung ist ein Werkzeug zur Berechnung der Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle. Die partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) an einer Stelle (a,b) ist die Steigung der Kurve an dieser Stelle. Die partielle Ableitung einer Funktion wird oft als Tangente an der Kurve an der Stelle (a,b) interpretiert. Wenn man die Steigung einer Kurve an einer Stelle berechnen will, kann man dies auf zwei Weisen tun. Zuerst kann man die Steigung der Kurve an der Stelle (a,b) als Limit von Steigungen der Kurve an anderen nahegelegenen Punkten interpretieren. Zweitens kann man die Steigung der Kurve an der Stelle (a,b) als partielle Ableitung der Funktion f(x,y) an der Stelle (a,b) berechnen. Die Berechnung der Steigung der Kurve an der Stelle (a,b) als Limit von Steigungen der Kurve an anderen nahegelegenen Punkten ist ein geometrischer Ansatz. Dieser Ansatz ist intuitiv, aber er ist nicht sehr praktisch, weil es schwierig ist, die Steigung der Kurve an einer beliebigen Stelle mit diesem Ansatz zu berechnen. Die Berechnung der Steigung der Kurve an der Stelle (a,b) als partielle Ableitung der Funktion f(x,y) an der Stelle (a,b) ist ein analytischer Ansatz. Dieser Ansatz ist praktischer, weil man mit der partiellen Ableitung einer Funktion die Steigung der Kurve an einer beliebigen Stelle berechnen kann. Die partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) an der Stelle (a,b) ist die Ableitung der Funktion f(x,y) nach x, wenn y konstant bleibt. Die partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) an der Stelle (a,b) ist die Ableitung der Funktion f(x,y) nach y, wenn x konstant bleibt. Die partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) an der Stelle (a,b) kann mit den Ableitungsregeln berechnet werden. Die Ableitungsregeln sind ein Satz von Regeln, mit denen man die Ableitung einer Funktion berechnen kann. Die partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) an der Stelle (a,b) kann auch mit dem Werkzeug der Differentialrechnung berechnet werden. Die Differentialrechnung ist ein Werkzeug zur Berechnung von Ableitungen. Die partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) an der Stelle (a,b) kann auch mit dem Werkzeug der Integralrechnung berechnet werden. Die Integralrechnung ist ein Werkzeug zur Berechnung von Flächen.

Übungen mit lösungen zur Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, und es gibt viele verschiedene Übungen, die man machen kann, um sie zu verstehen. Hier sind einige Beispiele für Übungen, die man machen kann, um das Konzept der partiellen Ableitungen zu verstehen.

Übung 1:

Finde die partielle Ableitung von f(x,y)=x^2+y^2 bezüglich x.

Lösung:

Die partielle Ableitung von f(x,y)=x^2+y^2 bezüglich x ist 2x.

Übung 2:

Finde die partielle Ableitung von f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 bezüglich y.

Lösung:

Die partielle Ableitung von f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 bezüglich y ist 2y.

Übung 3:

Finde die partielle Ableitung von f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 bezüglich z.

Lösung:

Die partielle Ableitung von f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 bezüglich z ist 2z.

Aufgaben zur Partielle Ableitungen

Aufgaben zur Partiellen Ableitungen

1. Bestimme die partielle Ableitung der folgenden Funktionen:

(a) f(x, y) = x²y

f_x(x, y) = 2xy

f_y(x, y) = x²

(b) f(x, y, z) = x²y + y²z

f_x(x, y, z) = 2xy

f_y(x, y, z) = 2yz + x²

f_z(x, y, z) = y²

f_x(x, y) = 4x³y⁵

f_y(x, y) = 5x⁴y⁴

2. Zeige, dass f_x = (1/2)f und f_y = (1/2)g, wenn f(x, y) = x² – y² und g(x, y) = 2xy.

f_x(x, y) = 2x

f_y(x, y) = -2y

g_x(x, y) = 2y

g_y(x, y) = 2x

Hence, f_x = g_y and f_y = -g_x.

(1/2)f(x, y) = (1/2)(x² – y²) = x²/2 – y²/2

(1/2)g(x, y) = (1/2)(2xy) = xy

Therefore, f_x = (1/2)f and f_y = (1/2)g.

3. Finde die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:

(a) f(x, y) = sin(x²y)

f_x(x, y) = 2xysin(x²y)

f_y(x, y) = x²cos(x²y)

(b) f(x, y) = e^xsin(y)

f_x(x, y) = e^xsin(y)

f_y(x, y) = e^xcos(y)

f_x(x, y) = -y sin(xy)

f_y(x, y) = -x sin(xy)

4. Finde die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:

(a) f(u, v) = u²v³, wobei x = u² und y = v²

f_u(u, v) = 2uv³, f_v(u, v) = 3u²v²

(b) f(r, θ) = r sin(θ), wobei x = r cos(θ) und y = r sin(θ)

f_r(r, θ) = sin(θ), f_θ(r, θ) = r cos(θ)

f_u(u, v) = 2xy³, f_v(u, v) = 3x²y²

5. Finde die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:

(a) F(x, y, z) = xyz, wobei u = x + y, v = y – z, w = z + x

F_u(u, v, w) = v + w, F_v(u, v, w) = u – w, F_w(u, v, w) = u + v

(b) G(x, y, z) = x²y + y²z + z²x, wobei u = x + y, v = y – z, w = z + x

G_u(u, v, w) = 2uy + w², G_v(u, v, w) = 2v(u – w), G_w(u, v, w) = 2w(u + v)

H_u(u, v) = 2uv³, H_v(u, v) = 3u²v²

6. Finde die erste und zweite partielle Ableitung der folgenden Funktionen:

(a) f(x, y) = x²y³

f_x(x, y) = 2xy³, f_y(x, y) = 3x²y², f_xx(x, y) = 2y³, f_xy(x, y) = 6xy², f_yy(x, y) = 6x²y

(b) g(x, y) = sin(xy)

g_x(x, y) = ycos(xy), g_y(x, y) = xcos(xy), g_xx(x, y) = -y²sin(xy), g_xy(x, y) = -xysin(xy), g_yy(x, y) = -x²sin(xy)

h_x(x, y) = e^xsin(y), h_y(x, y) = e^xcos(y), h_xx(x, y) = e^xsin(y), h_xy(x, y) = e^xcos(y), h_yy(x, y) = -e^xsin(y)

7. Finde die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:

(a) f(x, y, z) = x²yz + y²zx + z²xy

f_x(x, y, z) = 2xyz + y²z, f_y(x, y, z) = 2x²yz + z²x, f_z(x, y, z) = 2x²y + 2y²z

(b) g(x, y, z) = x³y²z⁴

g_x(x, y, z) = 3x²y²z⁴, g_y(x, y, z) = 2x³yz⁴, g_z(x, y, z) = 4x³y²z³

h_x(x, y, z) = yzcos(xyz), h_y(x, y, z) = xzcos(xyz), h_z(x, y, z) = xycos(xyz)

8. Finde die erste und zweite partielle Ableitung der folgenden Funktionen:

(a) f(x, y) = x⁴y + 3x²y² + 3y³

f_x(x, y) = 4x³y + 6xy, f_y(x, y) = x⁴ + 6x²y + 9y², f_xx(x, y) = 12x²y + 6, f_xy(x, y) = 12x² + 12y, f_yy(x, y) = 12x² + 18y

(b) g(x, y) = sin(x² + y²)

g_x(x, y) = 2xcos(x² + y²), g_y(x, y) = 2ycos(x² + y²), g_xx(x, y) = -4x²sin(x² + y²) – 2cos(x² + y²), g_xy(x, y) = -4xycos(x² + y²), g_yy(x, y) = -4y²sin(x² + y²) – 2cos(x² + y²)

h_x(x, y) = 2xy³cos(x + y) – x²y³sin(x + y), h_y(x, y) = 3x²y²cos(x + y) – x²y³sin(x + y), h_xx(x, y) = 2y³cos(x + y) – 6x²y²sin(x + y) – 2xy³sin(x + y), h_yy(x, y) = 6x²ycos(x + y) – 3x²y²sin(x + y) – 2x²y<

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